Μεγέθυνση κειμένου
Η πιο διάσημη μαθηματική σταθερά, εξαιτίας των ιδιοτήτων της, είναι η σταθερά π, όπως περιγράφεται στα ελληνικά από τη λέξη περιφέρεια, ή Pi στα Λατινικά. Η 14η Μαρτίου είναι η Παγκόσμια Ημέρα της Σταθεράς Π και διερευνούμε τη γοητεία που ασκεί στους ανθρώπους η Π και λύνουμε το μυστήριο του γιατί υπολογίζουμε εμμονικά τα ψηφία της
Η Παγκόσμια Ημέρα της Σταθεράς Π, η Διεθνής Ημέρα των Μαθηματικών, γιορτάζεται στις 14 Μαρτίου, λόγω της αμερικανικής συντομογραφίας της ημερομηνίας 3/14 – τα τρία πρώτα ψηφία του π.
Εκείνος ο οποίος θεωρείται ότι ήταν ο πρώτος που προσέγγισε τον υπολογισμό π σε μια πιο θεωρητική βάση ήταν ο Αρχιμήδης, γι’ αυτό και το π είναι γνωστό και ως σταθερά του Αρχιμήδη. Ωστόσο, το όνομα με το οποίο γνωρίζουμε τη σταθερά αυτή σήμερα, δόθηκε το 1706, όταν ο Ουαλός μαθηματικός Γουίλιαμ Τζόουνς πρότεινε να ονομαστεί με το ελληνικό γράμμα π, από τη λέξη «περιφέρεια».
Ο αριθμός π είναι άρρητος. Αποτελείται δηλαδή από άπειρα δεκαδικά ψηφία μη επαναλαμβανόμενα. Επομένως είναι αδύνατο, όσο ευφυείς κι αν είμαστε και όσο ισχυρούς υπολογιστές κι αν αποκτήσουμε, να βρούμε την ακριβή αριθμητική τιμή του π. Η περικοπή ωστόσο της δεκαδικής επέκτασης του π μετά το δεύτερο δεκαδικό ψηφίο (3,14) είναι αρκετή για τον προσδιορισμό της ημερομηνίας που γιορτάζεται, καθώς η σπουδαιότητά του είναι τόσο μεγάλη.
Όμως όσο περισσότερα ψηφία προσθέτετε, τόσο πιο χρήσιμο γίνεται το π. Με μόνο 11 ψηφία του π μπορούμε να υπολογίσουμε την περιφέρεια της Γης από την ακτίνα της με σφάλμα μόλις ενός χιλιοστού.
Με 38 ψηφία μπορούμε να υπολογίσουμε την περιφέρεια ενός κύκλου που περιλαμβάνει ολόκληρο το γνωστό Σύμπαν με ακρίβεια στην ακτίνα ενός ατόμου υδρογόνου.
Τα πρώτα 50 ψηφία του π φαίνονται να είναι αρκετά για τις περισσότερες πρακτικές εφαρμογές. Όμως το σημερινό ρεκόρ υπολογισμού για τον αριθμό των ψηφίων του π ανέρχεται στα 100.000.000.000.000.000 (εκατό τρισεκατομμύρια).
Γιατί επιμένουμε να υπολογίζουμε το π με όλο και μεγαλύτερο αριθμό ψηφίων;
Μια, ίσως πεζή, απάντηση είναι ότι ο υπολογισμός του π αποτελεί σημείο αναφοράς για υπερυπολογιστές. Ο στόχος της κατάρριψης του ρεκόρ για τον αριθμό των ψηφίων που υπολογίζονται, ωθεί τους προγραμματιστές να βελτιώσουν τόσο το υλικό, όσο και το λογισμικό, γεγονός που τελικά έχει οφέλη σε ένα ευρύ φάσμα τομέων εφαρμογών, από την πρόγνωση του καιρού έως την αναδίπλωση των πρωτεϊνών.
Η απαίτηση για όλο και περισσότερα ψηφία μάς ωθεί επίσης στη μαθηματική αναζήτηση νέων τύπων για το π, οι οποίοι θα μπορούσαν να κάνουν τους αριθμητικούς υπολογισμούς λιγότερο εντατικούς.
Έτσι, ένα άλλο μέρος της απάντησης είναι να αποκτήσουμε μια βαθύτερη κατανόηση του ίδιου του αριθμού. Να δημιουργήσουμε γνώση για τη γνώση και να ικανοποιήσουμε την περιέργειά μας για αυτήν την πιο διάσημη μαθηματική σταθερά.
Μέρος της διαρκούς γοητείας μας για το π προέρχεται από την αντιληπτή εγγενή σχέση του με την απλή γεωμετρία του φυσικού κόσμου. Από τους κυματισμούς στην επιφάνεια του νερού μέχρι τις διπλές έλικες του DNA, το π είναι βαθιά ενσωματωμένο στην πραγματικότητά μας.
Το π έχει βρεθεί, από μαθηματικούς και επιστήμονες, στις εξισώσεις που διέπουν τη θεμελιώδη δυναμική του Σύμπαντος: ο θεωρητικός φυσικός Βέρνερ Χάιζενμπεργκ χρησιμοποιεί το π στην αρχή της αβεβαιότητας της κβαντομηχανικής, ο φυσικός Άλμπερτ Αϊνστάιν στις εξισώσεις πεδίου της θεωρίας της σχετικότητας και ο αστρονόμος Γιοχάνες Κέπλερ στον τρίτο νόμο της πλανητικής κίνησης.
Υπάρχουν πολλές άλλες εφαρμογές του π σε διάφορους τομείς, όπως η θεωρία πιθανοτήτων, η φυσική του ηλεκτρομαγνητισμού και η μελέτη των μιγαδικών αριθμών, για να αναφέρουμε μόνο μερικούς.
Η ιστορία του π
Η ιστορία του π ξεκινάει από χιλιετίες. Πιστεύεται ότι οι Αρχαίοι Αιγύπτιοι, οι Σουμέριοι και οι Βαβυλώνιοι είχαν όλοι εκτιμήσεις του π με ακρίβεια ενός δεκαδικού ψηφίου (αν και οι προσεγγίσεις τους ήταν διαφορετικές και βρέθηκαν με διαφορετικές μεθόδους).
Η Βίβλος διεκδικεί επίσης μια πρώιμη προσέγγιση του π. Το ακόλουθο χωρίο βρίσκεται στο βιβλίο των Βασιλέων και αναφέρεται στην κατασκευή της «θάλασσας από χυτοσίδηρο» στο ναό του Σολομώντα.
Αυτή η εκτίμηση (π=3) είναι, ωστόσο, αισθητά χειρότερη από άλλες διαθέσιμες εκτιμήσεις της εποχής.
Άλλες πρωτόγονες κλασματικές προσεγγίσεις του π περιλαμβάνουν το γνωστό 22/7 ( με ακρίβεια δύο δεκαδικών ψηφίων και που υποδηλώνει μια, ακόμη, άγνωστη βρετανική π-ημέρα στις 22 Ιουλίου) και το λιγότερο γνωστό 333/106 (με ακρίβεια τεσσάρων δεκαδικών ψηφίων).
Ωστόσο, αυτές (και πράγματι οποιεσδήποτε) κλασματικές προσεγγίσεις του π υποφέρουν από ένα θεμελιώδες πρόβλημα: το γεγονός ότι το π είναι άρρητο.
Το θεμελιώδες πρόβλημα του π
Το π είναι απλώς ένας από ένα άπειρο σύνολο αριθμών που είναι γνωστοί ως ανορθολογικοί. Ο ανορθολογισμός του σημαίνει ότι το π δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα (ή ως λόγος δύο ακεραίων αριθμών (ακέραιοι αριθμοί), εξού και η ονομασία ανορθολογικός).
Επιπλέον, λόγω της ανορθολογικότητάς του, η δεκαδική αναπαράστασή του (3,14159…) είναι μια απείρως μεγάλη σειρά αριθμών χωρίς μοτίβο.
Ο λόγος που βάζουμε αποσιωπητικά (…) στο τέλος της δεκαδικής αναπαράστασης των ανορθολογικών αριθμών είναι επειδή δεν έχουν τελειώσει – συνεχίζουν για πάντα.
Θα μπορούσαμε να γράφουμε όλο και περισσότερους όρους της δεκαδικής τους αναπαράστασης και ποτέ να μην πλησιάσουμε στο τέλος της έκφρασης.
Ο ανορθολογισμός ενός αριθμού όπως το π, όπως και ο ανορθολογισμός ενός ανθρώπου, σχετίζεται με το απρόβλεπτό του. Δεν υπάρχει ακολουθία αριθμών στη δεκαδική αναπαράσταση ενός ανορθολογικού αριθμού που να επαναλαμβάνεται με συνέπεια, σε αντίθεση με τους ορθολογικούς αριθμούς.
Το κλάσμα 1/7 έχει απείρως μεγάλη δεκαδική αναπαράσταση: 0,142857142857… Παρόλο που συνεχίζεται αιώνια, όπως και οι ανορθολογικοί αριθμοί, υπάρχει ένα επαναλαμβανόμενο μοτίβο στα ψηφία του που το καθιστά ορθολογικό.
Πρέπει να περιμένουμε το έβδομο δεκαδικό ψηφίο για να αρχίσει να επαναλαμβάνεται. Αυτό μπορεί να γραφτεί πιο καθαρά ως 0,142857 με διακριτικές τελείες πάνω από το 1 και το 7 για να αντιπροσωπεύουν την αρχή και το τέλος της επαναλαμβανόμενης σειράς αριθμών.
Το Πι, ωστόσο, δεν έχει καμία τέτοια επανάληψη στην ανάπτυξή του, ανεξάρτητα από το πόσο πίσω στη σειρά θα κοιτάξετε.
Τα ψηφία στο δεκαδικό ανάπτυγμα του Πι φαίνονται τυχαία από κάθε άποψη και αν αυτή η πιθανότητα μπορεί να αποδειχθεί ότι ισχύει, υπάρχουν πιθανές εφαρμογές στην κατασκευή ασφαλών κωδίκων (για εφαρμογές όπως η κρυπτογράφηση ηλεκτρονικών επικοινωνιών) που βασίζονται σε μεγάλες ακολουθίες τυχαίων αριθμών.
Δοκιμές για τη χρήση του π ως πηγή τυχαίων αριθμών έδειξαν ότι αποδίδει συγκριτικά καλά με ορισμένες εμπορικά διαθέσιμες γεννήτριες τυχαίων αριθμών που χρησιμοποιούνται σήμερα στην κρυπτογραφία.
Πώς μπορούμε όμως να είμαστε σίγουροι ότι τα ψηφία του π δίνουν πραγματικά μια τυχαία ακολουθία;
Ένας τρόπος για να ελέγξουμε την τυχαιότητα των ψηφίων του π είναι να υπολογίσουμε το π σε όλο και μεγαλύτερους αριθμούς δεκαδικών ψηφίων, προκειμένου να διαπιστώσουμε αν πρόκειται πραγματικά για αυτό που είναι γνωστό ως κανονική γεννήτρια τυχαίων αριθμών.
Στο γνωστό σύστημα δεκαδικών αριθμών βάσης 10, κάθε μεμονωμένο ψηφίο ενός κανονικού αριθμού εμφανίζεται το 10ο του χρόνου, κάθε διψήφιος συνδυασμός εμφανίζεται το 100ο του χρόνου κ.ο.κ.
Η ανάλυση των ψηφίων του π μοιάζει με το να ρίχνουμε ένα 10πλευρο ζάρι για πάντα και να μετράμε πόσο συχνά εμφανίζεται κάθε όψη. Η διαπίστωση ότι το ζάρι είναι δίκαιο ισοδυναμεί με τη διαπίστωση ότι τα ψηφία του π είναι πραγματικά κανονικά.
Δεδομένου ότι, εξ ορισμού, δεν μπορούμε ποτέ να γνωρίζουμε έναν άπειρο αριθμό ψηφίων του Πι, ας εξετάσουμε το πρώτο εκατομμύριο δεκαδικών ψηφίων.
Μέσα σε αυτά τα ψηφία υπάρχουν 99.959 μηδενικά, 99.758 μονάδες, 100.026 δυάρια, 100.229 τριάρια, 100.230 τετράρια, 100.359 πεντάρια, 99.548 εξάρια, 99.800 εφτάρια, 99.985 οχτάρια και 100.106 εννιάρια. Αυτοί οι περίπου ίσοι αριθμοί εμφάνισης κάθε ψηφίου παρέχουν αρκετά πειστικές αποδείξεις για την κανονικότητα της ακολουθίας, αλλά δεν είναι πειστικές.
Παρά το γεγονός ότι οι περίπου ίσες συχνότητες συνεχίζουν να ισχύουν, καθώς αυξάνουμε τον αριθμό των εξεταζόμενων ψηφίων στα 100 τρισεκατομμύρια γνωστά ψηφία, εξακολουθούμε να μην μπορούμε να αποδείξουμε πειστικά ότι αυτό θα συμβεί για απείρως πολλά ψηφία.
Αυτό δεν είναι πρόβλημα μόνο για το π, αλλά και για όλους τους άλλους άρρητους αριθμούς, από τους οποίους το π είναι απλώς ο πιο γνωστός.
Μέχρι στιγμής, οι μαθηματικοί δεν έχουν καταφέρει να αποδείξουν οριστικά ότι έστω και ένας μόνο αριθμός έχει αυτή την ιδιότητα κανονικότητας.
Σε μια ακόμη πιο απλή κλίμακα, οι μαθηματικοί δεν έχουν ακόμη αποδείξει αν υπάρχουν άπειρες πολλές εμφανίσεις καθενός από τα ψηφία στο άπειρο δεκαδικό ανάπτυγμα του π. Φαίνεται απίθανο, αλλά ίσως αφού φτάσουμε σε ένα ορισμένο σημείο του αναπτύγματος που να μην υπάρχουν άλλα εννιάρια.
Το συχνά αναφερόμενο θεώρημα των απείρων πιθήκων υποδηλώνει ότι μια μαϊμού που πατάει τυχαία τα πλήκτρα για άπειρο χρονικό διάστημα θα πληκτρολογήσει σχεδόν σίγουρα ένα δεδομένο κείμενο, όπως τα πλήρη έργα του Σαίξπηρ.
Βέβαια, όταν το πείραμα επιχειρήθηκε στην πραγματικότητα με έξι μακάκους, ολόκληρη η λογοτεχνική τους συνεισφορά κατά τη διάρκεια ενός πειράματος διάρκειας ενός μήνα ήταν πέντε σελίδες κειμένου που αποτελούνταν σε μεγάλο βαθμό από το γράμμα S.
Το θεώρημα είναι, φυσικά, μια μεταφορά για μια απείρως μακρά ακολουθία τυχαία παραγόμενων γραμμάτων. Θα μπορούσαμε εύκολα να επινοήσουμε έναν κώδικα που θα αντιστοιχούσε το ανάπτυγμα του π σε γράμματα του αλφαβήτου, μετατρέποντας την ακολουθία σε μια σειρά γραμμάτων.
Αν μπορούσε να αποδειχθεί ότι η κανονικότητα του π είναι αληθινή, τότε στα άπειρα, μη τερματικά, μη επαναλαμβανόμενα ψηφία του π θα μπορούσαμε σίγουρα να βρούμε μια ακολουθία που θα αντιστοιχούσε στα πλήρη έργα του Σαίξπηρ ή σε οποιοδήποτε άλλο κείμενο μπορείτε να σκεφτείτε.
Ποιος χρειάζεται άπειρους πιθήκους όταν έχεις το π;
Με πληροφορίες από BBC
Related
Νεοτερα
