Κάτι αξιοσημείωτο μόλις συνέβη στο αγγλικό ποδόσφαιρο. Η Λίβερπουλ στέφθηκε πρωταθλήτρια της Premier League για δεύτερη φορά. Αν προστεθεί ο νέος τίτλος πρωταθλήματος στους 18 που είχε κατακτήσει πριν από την Premier League, αυτό σημαίνει ότι πλέον ισοφαρίζει το ρεκόρ της Μάντσεστερ Γιουνάιτεντ η οποία έχει 20 κατακτήσεις. Αλλά ενώ οι οπαδοί του συλλόγου θα γιορτάζουν αναμφίβολα αυτήν τη στιγμή του θριάμβου, μια άλλη εκπληκτική πτυχή του επιτεύγματός τους έχει τραβήξει την προσοχή των μαθηματικών.

Η κατάκτηση του τίτλου από τη Λίβερπουλ ολοκλήρωσε το άνοιγμα ενός εξαιρετικού αριθμητικού συνόλου, το οποίο προετοιμαζόταν για 33 χρόνια. Η ακολουθία προκύπτει όταν κατατάξουμε τη Λίβερπουλ μαζί με τους άλλους συλλόγους που έχουν κατακτήσει την Premier League από τότε που πρωτοσχηματίστηκε το 1992, καταγράφοντάς τους με βάση τον αριθμό των τίτλων που έχουν κατακτήσει, ξεκινώντας από τον μικρότερο. Όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα, ο αριθμός των τίτλων της Premier League έχει ως εξής 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13.

Για το ανεκπαίδευτο μάτι, αυτή η ακολουθία μπορεί να μη φαίνεται σημαντική. Θα είναι όμως αρκετή για να ενθουσιάσει πολλούς λάτρεις των μαθηματικών. Θα την αναγνωρίσουν ως την ακολουθία Φιμπονάτσι, στην οποία κάθε αριθμός (μετά τους δύο πρώτους) είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων στην ακολουθία.

Η ακολουθία μπορεί να βρεθεί σε μια εκπληκτική σειρά από μέρη – από τις σπείρες των σπόρων στα κεφάλια των ηλιοτρόπιων και τα βράκτια των κουκουναριών μέχρι τα μοτίβα του οικογενειακού δέντρου σε ορισμένα είδη ζώων.

Οι ακολουθίες Φιμπονάτσι (ακολουθίες στον πληθυντικό επειδή ξεκινώντας με ένα διαφορετικό ζευγάρι αρχικών αριθμών και ακολουθώντας τον κανόνα της πρόσθεσης διαδοχικών αριθμών για τη δημιουργία του επόμενου προκύπτει μια διαφορετική, αλλά σχετική ακολουθία) εισήχθησαν για πρώτη φορά στην ευρωπαϊκή επιστήμη το 1202 από τον Λεονάρντο της Πίζας, γνωστό επίσης με το ψευδώνυμό του Φιμπονάτσι (που σημαίνει γιος του Μπονάτσιο).

Πολύ πριν ο Φιμπονάτσι εκλαϊκεύσει τις ακολουθίες στο βιβλίο του Liber Abaci, ωστόσο, οι ακολουθίες ήταν γνωστές στους Ινδούς μαθηματικούς. Είχαν βασιστεί στις ακολουθίες για να τους βοηθήσουν να απαριθμήσουν τον αριθμό των πιθανών ποιημάτων συγκεκριμένου μήκους, χρησιμοποιώντας σύντομες συλλαβές διάρκειας μίας μονάδας και μακριές συλλαβές διάρκειας δύο μονάδων. Οι Ινδοί ποιητές/μαθηματικοί γνώριζαν ότι μπορούσες να φτιάξεις ένα ποίημα μήκους n παίρνοντας ένα ποίημα μήκους n-1 και προσθέτοντας μια σύντομη συλλαβή ή ένα ποίημα μήκους n-2 και προσθέτοντας μια μακρά συλλαβή. Κατά συνέπεια, κατάλαβαν ότι για να υπολογίσουν τον αριθμό των ποιημάτων συγκεκριμένου μήκους έπρεπε απλώς να προσθέσουν τον αριθμό των ποιημάτων που ήταν κατά μία συλλαβή μικρότερα στον αριθμό που ήταν κατά δύο συλλαβές μικρότερα – τον ακριβή κανόνα που χρησιμοποιούμε σήμερα για να ορίσουμε μια ακολουθία Fibonacci.

Στις ακολουθίες κρύβεται μια άλλη σημαντική και συναφής μαθηματική βάση – η χρυσή τομή. Καθώς οι όροι μιας ακολουθίας Φιμπονάτσι γίνονται μεγαλύτεροι, ο λόγος κάθε όρου προς τον προηγούμενο πλησιάζει όλο και περισσότερο στη χρυσή τομή – η οποία προσεγγίζεται στο 1,61803 από τα πρώτα ψηφία του δεκαδικού της αναπτύγματος. Η χρυσή τομή υποτίθεται ότι διέπει τη διάταξη των φύλλων στο στέλεχος ορισμένων φυτικών ειδών και υποτίθεται ότι οδηγεί σε αισθητικά ευχάριστα αποτελέσματα όταν εφαρμόζεται στην τέχνη, την αρχιτεκτονική και τη μουσική.

Οι ακολουθίες Φιμπονάτσι συχνά προβάλλονται από τους μαθηματικούς ως παραδείγματα της ομορφιάς των μαθηματικών. Μπορούν να παρέχουν ζωντανά οπτικά παραδείγματα των μαθηματικών γραμμένων στα μοτίβα του πραγματικού κόσμου, χωρίς τα οποία πολλοί μη μαθηματικοί μπορεί να δυσκολευτούν να κατανοήσουν την κομψότητα που βλέπουμε στο αντικείμενό μας. Στον υπερβάλλοντα ενθουσιασμό μας για προσηλυτισμό, ωστόσο, υπάρχει ο πειρασμός να παρουσιάσουμε τις ακολουθίες Φιμπονάτσι ή τη χρυσή τομή ως ένα είδος παντοδύναμου φυσικού νόμου που διέπει τα φαινόμενα σε όλες τις τάξεις μεγέθους, από τα σπειροειδή σχήματα των κελυφών των ναυτίλων μέχρι τις δίνες των τυφώνων και τους καμπύλους βραχίονες των γαλαξιών.

Στην πραγματικότητα, αν και αυτά τα φυσικά χαρακτηριστικά είναι αισθητικά ευχάριστα, πολύ λίγα από αυτά συμμορφώνονται με τους κανόνες της ακολουθίας Φιμπονάτσι ή παρουσιάζουν τη χρυσή τομή. Πρέπει να είμαστε προσεκτικοί ώστε να μην προσπαθούμε να βάλουμε κάθε όμορφο μοτίβο στο λεπτό γυάλινο γοβάκι του Φιμπονάτσι – να υπονοούμε αιτιώδη συνάφεια και να επιβάλλουμε νόημα εκεί που δεν υπάρχει.

Σύμπτωση;

Είναι εκπληκτικό, λοιπόν, να συναντάμε την ακολουθία Φιμπονάτσι σε ένα τόσο απροσδόκητο μέρος όπως η Premier League. Όταν, οι επιστήμονες, εντοπίζουν μια γνωστή ακολουθία όπως αυτή να εμφανίζεται φαινομενικά από το πουθενά, θα πρέπει να αρχίσουν να αναρωτιούνται αν αυτό λέει κάτι σημαντικό για τη διαδικασία που δημιούργησε την ακολουθία. Υπάρχει κάποια εκπληκτική αόρατη διαδικασία που διέπει τις μάχες για τον τίτλο της Premier League ή δεν είναι τίποτα περισσότερο από μια χαριτωμένη σύμπτωση; Το γεγονός ότι μπορούμε να δούμε μια ακολουθία Φιμπονάτσι σε κάτι δεν σημαίνει ότι υπάρχει για κάποιο λόγο.

Παρ’ όλα αυτά, ο εντοπισμός τέτοιου είδους φαινομενικών συμπτώσεων μπορεί να είναι εξαιρετικά χρήσιμος για τη διαδικασία της επιστημονικής ανακάλυψης. Το 1912, για παράδειγμα, ο Άλφρεντ Βέγκενερ παρατήρησε τη φαινομενικά παράξενη σύμπτωση ότι η ακτογραμμή της Δυτικής Αφρικής και η ανατολική ακτογραμμή της Νότιας Αμερικής έμοιαζαν να ταιριάζουν μεταξύ τους σαν τα κομμάτια ενός παζλ. Παρά την επικρατούσα τότε άποψη, ότι οι τεράστιες χερσαίες μάζες των ηπείρων ήταν απλώς πολύ μεγάλες για να μετακινηθούν, ο Βέγκενερ πρότεινε τη μόνη θεωρία που συμβίβαζε τις παρατηρήσεις του. Η ηπειρωτική μετατόπιση πρότεινε ότι οι χερσαίες μάζες δεν ήταν ριζωμένες στη θέση τους, αλλά μπορούσαν, πολύ αργά, να αλλάξουν τη σχετική τους θέση στην επιφάνεια της Γης.

Διαβασε ακομα

Πάει η αφάνα του Σαλάχ

Όταν ο Βέγκενερ δημοσίευσε τη θεωρία του το 1915, έγινε περίγελος. Οι γεωλόγοι απέρριψαν την παράξενη ιδέα του, επικαλούμενοι την έλλειψη μηχανισμού για την κίνηση τόσο τεράστιων κομματιών της γήινης επιφάνειας, απορρίπτοντας την φαινομενικά άνετη διάταξη των ηπείρων ως καθαρή σύμπτωση. Μέχρι τη δεκαετία του 1960, ωστόσο, η θεωρία της τεκτονικής των πλακών – η κίνηση του στερεού μανδύα και του φλοιού πάνω από την επιφάνεια της Γης – έδωσε αξιοπιστία στις ευρέως αποδεκτές πλέον θεωρίες του Βέγκενερ.

Η εξέλιξη ενός λάθους

Αν και οι συμπτώσεις μπορούν να δείξουν το δρόμο για νέες επιστημονικές ανακαλύψεις, μπορούν επίσης να αποδειχθούν εμπόδιο στην επιστημονική πρόοδο, όταν φαίνεται να επιβεβαιώνουν μια λανθασμένη θεωρία. Στις αρχές του 1800 ο Γερμανός ανατόμος Γιόχαν Φρίντριχ Μέκελ έκανε ακριβώς ένα τέτοιο λάθος. Ήταν οπαδός της scala naturae (της σκάλας της φύσης) στην οποία ο άνθρωπος βρίσκεται πάνω από όλα τα άλλα ζώα σε μια διατεταγμένη αλλά στατική ιεραρχία. Οι απλούστερες, πιο πρωτόγονες μορφές ζωής υποτίθεται ότι βρίσκονταν στα χαμηλότερα σκαλοπάτια της σκάλας, ενώ τα πιο σύνθετα και προηγμένα όντα βρίσκονταν στα υψηλότερα. Οι απόψεις του δεν προκαλούσαν έκπληξη, δεδομένου ότι αυτή η «μεγάλη αλυσίδα της ύπαρξης» ήταν η κυρίαρχη θεωρία της εποχής. Η γενικώς αποδεκτή σήμερα θεωρία της «κοινής καταγωγής» -ότι δηλαδή πολλά είδη προέρχονται από έναν και μόνο προγονικό πληθυσμό- βρισκόταν μόλις στα σπάργανα ως ιδέα εκείνη την εποχή.

Διαβασε ακομα

Τα κρυμμένα μαθηματικά στα δέντρα της τέχνης και της ζωής

Ο Μέκελ χρησιμοποίησε τη scala naturae για να καταλήξει σε μια εικασία σχετικά με τον τομέα της ειδικότητάς του – την εμβρυϊκή ανάπτυξη. Γνωστή ως θεωρία της ανακεφαλαίωσης, υποστήριξε ότι, καθώς αναπτύσσονταν, τα έμβρυα των ζώων ανώτερης τάξης (όπως τα θηλαστικά) προχωρούσαν διαδοχικά σε μορφές που έμοιαζαν έντονα με τα «λιγότερο τέλεια» ζώα, όπως τα ψάρια, τα αμφίβια και τα ερπετά, στα χαμηλότερα σκαλοπάτια της σκάλας. Μια εκπληκτική, αλλά φαινομενικά απίθανη πρόβλεψη αυτής της θεωρίας ήταν ότι, καθώς οι άνθρωποι προχωρούσαν στο «στάδιο των ψαριών», τα έμβρυά τους θα είχαν σχισμές στα βράγχια.

Πράγματι, ανακαλύφθηκε το 1827 ότι τα ανθρώπινα έμβρυα έχουν πράγματι σχισμές που μοιάζουν με βράγχια σε ένα πρώιμο στάδιο ανάπτυξης. Αυτό το εξαιρετικό εύρημα φάνηκε να επιβεβαιώνει την πρόβλεψη του Μέκελ και να επαληθεύει τη θεωρία του περί ανακεφαλαίωσης. Τα αντιληπτά στοιχεία ήταν τόσο ισχυρά που η θεωρία έγινε ευρέως αποδεκτή και μόνο σχεδόν 50 χρόνια αργότερα, στη δεκαετία του 1870, η θεωρία της ανακεφαλαίωσης της ανάπτυξης τέθηκε οριστικά στο αρχείο, καθώς η ιδέα της κοινής καταγωγής άρχισε να εδραιώνεται. Η κοινή κάθοδος στηρίζει αυτό που σήμερα γνωρίζουμε ως σύγχρονη εξελικτική θεωρία. Κατέστησε σαφές ότι, μακριά από το να υποστούμε ένα «στάδιο ψαριού» στη μήτρα, οι σχισμές των βράγχιων ήταν συνέπεια του γεγονότος ότι, έχοντας έναν κοινό πρόγονο με τα ψάρια, μοιραζόμαστε επίσης μεγάλο μέρος του DNA τους και των πρώιμων αναπτυξιακών διαδικασιών.

Διαβασε ακομα

Ο κανόνας των 8 δευτερολέπτων είναι η νέα μεγάλη αλλαγή στο ποδόσφαιρο

Μερικές φορές οι συμπτώσεις μπορούν να παραπλανήσουν τους επιστήμονες, καθώς φαίνεται να οδηγούν σε ένα συμπέρασμα, ενώ, στην πραγματικότητα, υπάρχει μια εναλλακτική εξήγηση για τις παρατηρήσεις που υποστηρίζεται καλύτερα από τα γεγονότα.

Τι σημαίνει, λοιπόν, το γεγονός ότι η όμορφη, σχεδόν μυστικιστική ακολουθία Φιμπονάτσι εμφανίστηκε στα δεδομένα για τον αριθμό των κατακτήσεων τίτλων της Premier League για το όμορφο παιχνίδι; Καθώς δεν υπάρχει κανένας εύλογος μηχανισμός που θα μπορούσε να προκαλέσει την ακολουθία, η απάντηση είναι σχεδόν σίγουρα τίποτα.

Είναι υπέροχο που εντοπίστηκε αυτή η μαθηματική ακολουθία σε ένα τόσο απίθανο μέρος, δίνοντάς μας την ευκαιρία να αναλογιστούμε τη σημασία των αριθμών Φιμπονάτσι. Αλλά ένα μοτίβο δεν σημαίνει πάντα αιτιώδη συνάφεια – μια σύμπτωση είναι μερικές φορές απλώς μια σύμπτωση.

Και, ακριβώς όπως οι σχισμές των βράγχιων του Μέκελ, η εμφάνισή του στα ρεκόρ της Premier League είναι ακριβώς αυτό – τίποτα περισσότερο από μια θεαματική αλλά τελικά παραπλανητική σύμπτωση.

Με πληροφορίες από BBC